Sok felsőbb matematikát tanuló diák valószínűleg azon gondolkodott: hol alkalmazzák a gyakorlatban a differenciálegyenleteket (DE)? Általános szabály, hogy ezt a kérdést nem tárgyalják az előadások, és a tanárok azonnal folytatják a DE megoldását anélkül, hogy elmagyaráznák a hallgatóknak a differenciálegyenletek alkalmazását a való életben. Megpróbáljuk pótolni ezt a hiányt.
Kezdjük egy differenciálegyenlet definiálásával. Tehát a differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely összekapcsolja egy függvény deriváltjának értékét magával a függvénnyel, a független változó értékeivel és egyes számokkal (paraméterekkel).
A differenciálegyenletek leggyakoribb területe a természeti jelenségek matematikai leírása. Olyan problémák megoldásában is alkalmazzák őket, ahol lehetetlen közvetlen kapcsolatot kialakítani egyes folyamatokat leíró értékek között. Ilyen problémák merülnek fel a biológiában, a fizikában, a közgazdaságtanban.
A biológiában:
Az első értelmes matematikai modell, amely a biológiai közösségeket írja le, a Lotka - Volterra modell volt. Két egymással kölcsönhatásban álló faj populációját írja le. Közülük az első, akit ragadozóknak hívnak, a második hiányában az x ′ = –ax (a> 0) törvény szerint kihal, a második - ragadozó - ragadozók hiányában a törvény szerint korlátlanul szaporodik Malthus. E két típus kölcsönhatását a következőképpen modellezik. Az áldozatok a ragadozók és a zsákmányok találkozásainak számával megegyező ütemben halnak meg, amely ebben a modellben feltételezhető, hogy mindkét populáció méretével arányos, azaz egyenlő a dxy-val (d> 0). Ezért y '= by - dxy. A ragadozók az elfogyasztott zsákmányok számával arányos sebességgel szaporodnak: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Egyenletrendszer
x ′ = –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
az ilyen populációt leíró ragadozó-zsákmány Lotka-Volterra rendszer (vagy modell).
A fizikában:
Newton második törvényét meg lehet írni differenciálegyenlet formájában
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), ahol m a test tömege, x a koordinátája, F (x, t) a testre ható erő x koordinátával a t időpontban. Megoldása a test pályája a megadott erő hatására.
Közgazdaságtan:
A kibocsátás természetes növekedésének modellje
Feltételezzük, hogy egyes termékeket fix áron adnak el. Legyen Q (t) a t időpontban eladott termékek mennyisége; akkor ebben az időpontban a jövedelem megegyezik PQ (t) -vel. A meghatározott jövedelem egy részét fordítsák az értékesített termékek előállítására irányuló beruházásokra, azaz
I (t) = mPQ (t), (1)
ahol m a befektetési ráta - állandó szám, és 0
